命題２２
同じ比をもつ数で最小の数は互いに素である。
AとBを同じ比をもつ数で最小の数であるとせよ。
AとBは互いに素であると主張する。
もし、互いに素でないならば、そのとき、ある数Cがそれらを割り切る。
CがAを割り切ったものと同じだけDの中に単位があり、CがBを割り切ったものと同じだけEの中に単位があるとせよ。
CはAを割り切って、それに従って、Dの中に単位があるので、それゆえに、CはDをかけられてAを作る。definitionⅦ．１５
同じ理由で、CはEをかけられてBを作る。
したがってCは２つの数DとEをかけられて、AとBを作る。
それゆえに、DはEに対して、AはBに対する。propsitionⅦ．１７
それゆえに、DとEは、AとBの比と同じ比であり、AとBより小さく、これは不可能である。
それゆえに、AとBを割り切る数はない。
それゆえに、AとBは互いに素である。
それゆえに、同じ比をもつ数で最小の数は互いに素である。
証明終了